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Zahlenbereiche

Hier findest du Wichtiges zu den verschiedenen Zahlenbereichen. 

Zahlenbereiche – Von natürlich bis komplex

Hast Du Dich schon einmal gefragt, ob die Zahlen, die Dir im täglichen Leben begegnen, mehr oder weniger komplex sind? Wie sieht es mit den 12 Brötchen aus, die Du für das Frühstück am Wochenende kaufen musst? Für diese 12 Brötchen musst Du in der Bäckerei genau 6,12€ zahlen und am Frühstückstisch isst du dann 2,5 Brötchen.

Auf den ersten Blick sind diese drei Zahlen alle ähnlich: Sie liegen zwischen 0 und 10 und Du kannst mit ihnen rechnen. Aber welche dieser Zahlen ist eine natürliche Zahl und welche eine gebrochene Zahl? Die Antwort auf diese Frage liefern Dir die verschiedenen Zahlenbereiche!

Wofür braucht man verschiedene Zahlenbereiche?

Auf den ersten Blick erscheint es wenig sinnvoll, die Welt der Zahlen zwanghaft in verschiedene Bereiche einzusortieren. Aber wenn Du Dir einmal anschaust, welche Zahlen es gibt, dann fallen zwei Zahlenbereiche schon direkt auf: Zahlen unter 0 und Zahlen über 0.

Und was unterscheidet negative Zahlen und positive Zahlen voneinander? Ganz einfach: Für die verschiedenen Zahlenbereiche gibt es Rechenregeln, die Dir das Rechnen mit den entsprechenden Zahlen erleichtern.

In der Unterstufe wirst Du bspw. lernen, wie Du mit dem Betrag einer Zahl rechnest oder wie ganze Zahlen miteinander multipliziert oder dividiert werden.

Natürliche Zahlen – Der Anfang des Rechnens

Natürliche Zahlen kennst Du schon seitdem Du zählen kannst. Denn im Kindergarten hast Du gelernt, dass Du genau eine Nase, zwei Augen, fünf Finger an jeder Hand und insgesamt zehn Zehen hast. Diese einfachen Zahlen, also 1, 2, 5 und 10, gehören zu den natürlichen Zahlen.

Und damit weißt Du eigentlich schon, welche Zahlen zum Zahlenbereich der natürlichen Zahlen gehören. Das sind nämlich alle Zahlen, die größer oder gleich 0 sind. Wichtig: Der Zahlenbereich der natürlichen Zahlen ist unendlich groß! Denn wenn Du von 0 anfängst zu zählen und dann immer 1 zu deiner Zahl addierst, dann kannst Du das ewig tun und wirst nie fertig! Du solltest also nicht versuchen, Deine Freunde damit zu beeindrucken alle natürlichen Zahlen aufzuschreiben!

Da wir Dich hier nicht mit altbekanntem Stoff langweilen wollen, gehen wir hier nicht noch einmal auf die Rechenregeln der natürlichen Zahlen ein. Falls Du Dein Wissen aber noch einmal vertiefen möchtest, haben wir in diesem Rechenkurs mit natürlichen Zahlen alle notwendigen Regeln und Rechenoperationen, die Dir im Matheunterricht begegnen werden!

Ganze Zahl – Warum denn so negativ?

Bestimmt hast Du schon einmal einen Kontoauszug gesehen. Eine Bank kennt leider nicht nur natürliche Zahlen, denn sonst könntest Du dir später sicher kein Haus kaufen. Oder Du sparst sehr lange. Wenn Du etwas für 25 Euro kaufst, aber selbst nur 20 Euro hast, dann hast Du am Ende genau -5 Euro. Achte auf das kleine Minuszeichen vor der Zahl!

Negative Zahlen gehören nicht zu den natürlichen Zahlen. Das ist eigentlich auch logisch, denn Du kannst zwar 15 Äpfel haben, aber eben nicht -15 Apfel.

Welche Zahlen gehören also zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen? Ganz einfach: Alle Zahlen von minus Unendlich bis plus Unendlich. Also alle Elemente, die durch Substraktion oder Addition einer natürlichen Zahl von 0 entstehen können, bspw. -15, -14, -13, … 0 … 13, 14, 15.

Welche Rechenregeln gelten bei ganzen Zahlen?

Natürlich gibt es für Rechnungen mit ganzen Zahlen bestimmte Grundregeln. Du kennst natürlich schon die einfachen Rechenarten der Addition, Substraktion und Multiplikation. Aber weißt Du auch, wie Du diese Rechenoperationen mit negativen Zahlen durchführst? Hier gibt es einige Besonderheiten, die Du Dir unbedingt merken solltest:

  • Multiplikation zweier negativer Zahlen: Wenn Du zwei negative ganze Zahlen miteinander multiplizierst, dann ist das Ergebnis stets positiv! Am Ende unterscheiden sich als 5 x 6 und -5 x -6 nicht voneinander, denn das Ergebnis ist in beiden Fällen 30. 
  • Addition zweier negativer Zahlen: Wenn Du zwei negative Zahlen addierst, dann ist das Ergebnis niedriger als beide einzelnen Summanden für sich. Das bedeutet, dass die Rechnung -5 + -5 sich genau so verhält wie -5 – 5. Das Ergebnis ist in diesem Fall also gerade nicht 0, sondern -10. 
  • Subtraktion zweier negativer Zahlen: Ein weiterer Sonderfall bei negativen ganzen Zahlen stellt die Subtraktion dar. Wenn Du -5 - -5 rechnest, dann wandeln sich die beiden aufeinanderfolgenden Minuszeichen praktisch in ein Pluszeichen. Das Ergebnis der Rechnung ist also 0!

Ein kleiner Tipp: Wenn Du mit negativen Zahlen rechnest, dann kannst Du immer davon ausgehen, dass zwei aufeinanderfolgende, gleiche Rechenoperatoren wie ein Pluszeichen behandelt werden. Wenn ein Minus- auf ein Pluszeichen oder ein Pluszeichen auf ein Minuszeichen folgt, dann kannst Du hier immer mit einem einfachen Minuszeichen rechnen!

Hier noch einmal ein paar einfache Rechnungen:

  • 2 x -2 = -4
  • -2 x -2 = 4 
  • 2 - -2 = 4 
  • 2 + -2 = 0

Eigentlich können wir Dich jetzt auf Rechnungen mit ganzen Zahlen loslassen! Aber damit Du auch noch ein paar Rechnungen mit negativen ganzen Zahlen lösen kannst, haben wir für Dich dieses Tutorial zum Rechnen mit ganzen Zahlen. Dort findest Du alle Rechenregeln noch einmal erklärt und hast die Möglichkeit, dein Wissen auch noch einmal zu testen!

Gebrochene Zahlen – Ganze Zahlen und Brüche

Was fällt Dir auf, wenn Du Dir einmal die beiden bisher besprochenen Zahlenbereiche anschaust? Bisher haben wir zusammen alle Zahlen definiert, die sich durch Addition oder Subtraktion von 1 errechnen lassen. Aber spätestens seit der fünften Klasse weißt Du, dass es auch Brüche gibt, die Dir das Leben schwerer machen. Als kleine Beispiel: 45 Minuten sind genau die Hälfte von einem Fußballspiel, eine Stunde des Arbeitstages sind ⅛ des gesamten Arbeitstages und ¾ des Kuchens sind besser als nur ¼.

Damit Du auch mit solchen Brüchen rechnen kannst, müssen wir den Zahlenbereich der ganzen Zahlen noch einmal erweitern. Das geschieht über den Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen, der alle Zahlen enthält, die größer als 0 sind, unabhängig davon, ob es sich um ganze Zahlen oder Brüche handelt.

Rechnen mit gebrochenen Zahlen

Auch Rechnungen mit gebrochenen Zahlen weisen einige Besonderheiten auf, die wir Dir noch einmal kurz vor Augen führen wollen. Solltest Du noch ein paar kleinere Schwierigkeiten mit dem Bruchrechnen haben, dann kannst Du Dir in diesem Lernvideo zum Bruchrechnen noch einmal Sicherheit holen!

Jetzt noch einmal die wichtigsten Rechenregeln für gebrochene Zahlen:

  • Addition und Subtraktion von nennergleichen Brüchen: Bei Brüchen, die den gleichen Nenner haben, werden einfach die Zähler addiert oder subtrahiert. Der Nenner bleibt erhalten. 
  • Addition und Subtraktion von nicht nennergleichen Brüchen: Bei Brüchen, die nicht den gleichen Nenner haben, musst Du die Brüche erst auf einen Nenner bringen. Das erfolgt durch Erweitern oder Kürzen der Brüche. Anschließend werden dann die Zähler addiert oder subtrahiert, der Nenner bleibt gleich. 
  • Multiplikation: Wird ein Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, dann wir einfach der Zähler mit der Zahl malgenommen. Werden zwei Brüche multipliziert, dann werden schlicht beide Zähler und beide Nenner miteinander multipliziert. 
  • Division: Teilst Du einen Bruch durch eine ganze Zahl, dann musst du nur den Nenner mit der Zahl multiplizieren. Bei zwei Brüchen, wird der Bruch mit dem sog. Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. 

Alles klar? Das haben wir uns gedacht! Wir haben aber alle Rechnungen noch einmal in einem eigenen Kurs zum Bruchrechnen verpackt, damit Du auch noch einmal üben kannst!

Rationale Zahlen – Erweiterung der ganzen und der gebrochenen Zahlen

Oben haben wir bereits die natürlichen Zahlen um negative Zahlen erweitert. Allerdings haben wir auch die natürlichen Zahlen um Brüche erweitert. Insofern sind die rationalen Zahlen eine Erweiterung von gleich zwei Zahlenbereichen:

  1. Ganze Zahlen: Rationale Zahlen erweitern den Zahlenbereich der ganzen Zahlen um Brüche. 
  2. Gebrochene Zahlen: Rationale Zahlen erweitern den Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen um negative Zahlen.

Sicher kannst Du Dir schon denken, welche Zahlen zum Zahlenbereich der rationalen Zahlen gehören. Aber wir haben noch einmal eine Definition: Zu den rationalen Zahlen gehören alle ganzen Zahlen und alle gebrochenen Zahlen, die hier auch als negative gebrochene Zahlen auftauchen können. Nichts leichter als das!

Sonstige Zahlenbereiche – Reelle und komplexe Zahlen

Durch die Erweiterung der gebrochenen Zahlen um negative Brüche und ganze Zahlen können wir nun beinahe alle Zahlen definieren und zuordnen. Durch die Rechenregeln für rationale Zahlen, die so auch für gebrochene Zahlen und ganze Zahlen gelten, können wir beinahe jede beliebige Zahl definieren. Dennoch gibt es noch weitere Zahlenbereiche, die Du kennen solltest.

Sicher hast Du schon einmal das Wort „Wurzelziehen“ gehört. Keine Sorge, wir reden nicht von einem Zahnarztbesuch, sondern von einer mathematischen Berechnung. Die Wurzel einer Zahl beantwortet die Frage, welche Zahl mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. So ist die Wurzel aus 25 die Zahl 5, die Wurzel aus 36 die 6 und die Wurzel aus 49 die 7.

Allerdings ist nicht jede Wurzel so einfach zu berechnen. Die Wurzel aus 2 bspw. ist eine Zahl, die bisher von den rationalen Zahlen nicht erfasst ist und nicht nach einigen wenigen Nachkommastellen endet. Was also macht man mit solchen Zahen?

Ganz einfach: Man führt den Zahlenbereich der reellen Zahlen ein. Zum reellen Zahlenbereich zählen auch solche Zahlen wie die Eulersche Zahl (e) und die Kreiszahl π. Pi selbst ist eine Zahl, die bisher nicht vollständig bestimmt ist. Aktuell sind aber über 13 Billionen Stellen bekannt.

Die letzte Erweiterung der Zahlenbereiche wollen wir mit den komplexen Zahlen einführen. Der komplexe Zahlenbereich stellt eine Erweiterung zu den reellen Zahlen dar. Die Erweiterung liegt darin begründet, dass eine Gleichung wie x² = -1 schlicht nicht lösbar ist.

Um diese einfache Gleichung lösen zu können, muss als Bedingung zusätzlich i² = -1 eingeführt werden. Mit dieser Erweiterung ist der komplexe Zahlenbereich aber auch abgeschlossen!

Willst Du lernen, wie Du mit komplexen Zahlen geometrische Figuren konstruieren kannst? Dann haben wir genau das passende Mathetutorial für Dich!