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Statistik und Wahrscheinlichkeit

Das Wichtigste, was du zur Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Mittelstufe brauchst, findest du hier.

Stochastik und Statistik – Albtraum aller Schüler

Für viele Schüler ist Mathematik schon ein Angstfach an sich, doch mit Statistik und Stochastik bietet der Unterricht gleich zwei Themen, die aus einem einfachen Angstfach ein absolutes Horrorfach machen. In kaum einem anderen Themengebiet gibt es so viele frustrierte Schüler und Schülerinnen und so viele schlechte Klausuren. Aber Stochastik und Statistik lassen sich jetzt auch online lernen! Egal ob deskriptive Statistik, Standardabweichung berechnen oder Laplace Wahrscheinlichkeit: Mit dem passenden online Nachhilfevideo findest auch du deinen ganz persönlichen Nachhilfelehrer und überzeugt in der nächsten Klausur mit einer guten Note!

Arten der Statistik

Statistik wird allgemeinhin in verschiedene Teilbereiche unterteilt. Jeder Teilbereich selbst hat ein anderes Ziel, das durch den Einsatz verschiedener Methoden und Berechnungen erreicht werden soll. Für Schüler sind sicherlich die Kennzahlen der verschiedenen Bereiche interessant, da es genau diese sind, die in der Schule berechnet werden müssen!

Deskriptive Statistik

In der Schule wird die deskriptive Statistik nur am Rande behandelt. Das hat einen einfachen Grund: Ziel der deskriptiven Statistik ist es, komplexe Daten so aufzubereiten, dass sie leichter erfasst werden können. Die deskriptive Statistik verwendet also keine stochastischen Methoden, um bestimmte Datenmengen zu erklären. Es wird lediglich ein Ist-Zustand beschrieben. Meist basiert dieser auf einer Stichprobe. Daher ist die deskriptive Statistik abhängig von einer sauberen Methode zur Bildung dieser Stichprobe.

Die deskriptive Statistik verwendet im Wesentlichen drei Methoden zur Darstellungen von Datenmengen. Dazu gehören

  1. Tabellen: Tabellen sind die klassische Darstellungsform für Daten. Das liegt auch an dem Standard-Programm Microsoft Excel, das heute häufig zur deskriptiven Statistik verwendet wird. Allerdings hat eine Tabelle meist den Nachteil, dass die Struktur meist nicht intuitiv erfasst werden kann.
  2. Diagramme: Diagramme bieten den Vorteil, dass eine Datenmenge visuell dargestellt wird. Damit jedoch eine größere Menge an Daten in dieser Form dargestellt werden kann, wird die zugrundeliegende Datenmenge zusammengefasst. Das führt letztlich dazu, dass einzeln Daten verlorengehen und sich die grafische Zusammenfassung daher meist nicht mehr als eine grobe Übersicht ist. 
  3. Kennzahlen: Kennzahlen aggregieren einen Aspekt des Datensatzes so, dass am Ende nur noch eine einzige Kennzahl übrig bleibt. Damit ein ganzer Datensatz aggregiert werden kann, müssen viele verschiedene Kennzahlen gebildet und berechnet werden. Für eine besonders erfolgreiche Klausur musst du natürlich einige verschiedene Parameter kennen. Besonders häufig kommen aber der Mittelwert, die Streuung oder die Standardabweichung in den Textaufgaben vor.

Induktive Statistik

In der deskriptiven Statistik hast du bisher nur eine Stichprobe aus einem großen Datensatz beschrieben. Die Induktive Statistik hat einen anderen Ansatz. Es werden die Kennzahlen einer Stichprobe berechnet und anschließend werden verschiedene Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewandt, um dann von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.

Zentrales Gebiet für induktive Statistik ist die Schätztheorie. Ausgehend von der bekannten Stichprobe muss eine Funktion errechnet werden, die die Gesamtheit beschreibt. Diese Schätzfunktionen werden anhand verschiedener Qualitätskriterien bewertet und konsequent überprüft. Die Entscheidung zu Gunsten einer bestimmten Schätzfunktion wird meist über statistische Test mit einer 0-1 Entscheidung getroffen.

Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet ist die Auswahl von Zufallsstichproben. Da das Ziel der induktiven Statistik die Vorhersage über die Gesamtheit ist, ist die Auswahl der Stichprobe von zentraler Bedeutung: Erst eine saubere Auswahl der Stichprobe macht die induktive Statistik überhaupt aussagekräftig.

Explorative Statistik

Die explorative Statistik zeichnet sich dadurch aus, dass über die Daten und deren Zusammenhänge kaum etwas bekannt ist. Dadurch wird schnell klar, was genau die Ziele der explorativen Statistik sind:

  • Hypothesen bilden: Hauptaufgabenfeld der explorativen Statistik ist das Bilden von Hypothesen, die erklären, warum die Daten so auftreten, wie sie es letztlich tun.
  • Hilfe für die induktive Statistik: Ebenfalls wichtig ist die Einschätzung von Annahmen, die erklären sollen, worauf die statistische Inferenz basiert.

Die explorative Statistik wird dir in der Schule aber kaum begegnen. Lediglich einige der Methoden zur Darstellung der Daten könnten angesprochen werden. Daher solltest du Histogramme, Boxplots und Scatterplots schon einmal gehört haben!

Wenn du dich aber schon einmal auf die gymnasiale Oberstufe, ein mögliches Mathematik-Studium oder eine Karriere als Data Scientist vorbereiten möchtest, findest du in diesem Tutorial zur beschreibenden Statistik auch Grundlagen und Methoden der explorativen Datenanalyse!

Wichtige statistische Werte

Natürlich wollen wir dir auch einen kurzen Einblick in die wichtigsten statistischen Werte geben. Einige Kennzahlen tauchen immer wieder auf und sind in den Klausuren besonders beliebt. Diese Werte musst du unbedingt verstanden haben und solltest dich sicher im Umgang mit ihnen fühlen!

Der Mittelwert in verschiedenen Ausprägungen

Eine der wichtigsten Kennzahlen der Statistik ist der Mittelwert. Dieser Wert liegt zwischen der kleinsten und der größten Zahl und beschreibt die Tendenz, in die eine Zahlenreihe strebt. Zur Berechnung existieren verschiedene Möglichkeiten:

  • Arithmetisches Mittel: Das arithmetische Mittel wird errechnet, indem sämtliche Zahlen addiert und anschließend durch die Anzahl aller Zahlen dividiert wird.
  • Geometrisches Mittel: Das geometrische Mittel hingegen ist der Mittelwert, der als die n-te Wurzel aus dem Produkt der beachteten Zahlen berechnet wird. Hierbei werden größere Zahlen weniger stark berücksichtig als beim arithmetischen Mittel.
  • Quadratisches Mittel: Das quadratische Mittel wiederrum berücksichtigt größere Zahlen stärker und wird berechnet, indem die Wurzel aus dem Quotienten der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet ist.

Eng mit dem Mittelwert verwandt sind Modus und Median. Hier werden jedoch keine Berechnungen durchgeführt:

  • Der Modus gibt Auskunft darüber, welche Beobachtung am häufigsten vorkommt und wird daher oft bei Nominalskalen eingesetzt.
  • Der Median ist die Beobachtung, die in einer geordneten Liste an mittlerer Stelle vorkommt.

Ein Beispiel: Du hast 3 Freunde in deinem Mathe-Kurs. Davon schreiben zwei eine 3 und einer eine 2 in der Statistik-Arbeit. Das arithmetische Mittel ist nun 2,66. Der Modus ist genau 3 und der Median ist ebenfalls 3.

Varianz – Die Abweichung vom Mittelwert

Eng mit dem arithmetischen Mittelwert verbunden ist die Varianz. Die Varianz ist ein Streuungsmaß, das die Verteilung von Werten um den Mittelwert herum kennzeichnet. Dazu wird zunächst der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe oder einer Datenreihe gebildet. Anschließend wird für jede Beobachtung die Abweichung vom Mittelwert notiert. Diese Abweichungen werden anschließend quadriert und addiert, bevor sie durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert wird.

Allerdings weist die Varianz einen entscheidenden Nachteil auf: Durch das Quadrieren hat die Varianz eine andere Maßeinheit als die Beobachtungen. Betrachtest du bspw. das Alter deiner Familienmitglieder, dann hätte die Varianz die Einheit Jahre² und nicht Jahre.

Standardabweichung – Die Wurzel der Varianz

Um das Problem der ungleichen Einheiten der Varianz zu umgehen, hat sich eine weitere Kennzahl etabliert: Die Standardabweichung. Die Standardabweichung gibt ebenfalls einen Wert an, der zeigt, wie weit die einzelnen Beobachtungen durchschnittlich vom arithmetischen Mittel entfernt liegen.

Zur Berechnung der Standardabweichung wird lediglich die Quadratwurzel aus der Varianz gezogen. Das Ergebnis ist ein Wert, der die gleiche Einheit wie die untersuchten Beobachtungen hat.

Noch einmal die Berechnung der Standardabweichung:

  1. Arithmetisches Mittel berechnen
  2. Varianz errechnen 
  3. Wurzel aus der Varianz ziehen

Stochastik – Die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Deutlich häufiger findet sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf den Stundenplänen. Hier geht es vor allem darum vorherzusagen, mit welcher prozentualen Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis eintreffen wird. Ein einfaches Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du bei einem Münzwurf „Kopf“ als Ergebnis erhältst? Richtig, genau 50 Prozent. Perfekt, dann bist du nun auf alle Klausuren und Fragen deines Lehrers vorbereitet. War doch gar nicht so schwer, oder? Schade, dass es am Ende dann doch nicht so einfach ist.

Der Ereignisbaum – Wahrscheinlichkeiten anschaulich darstellen

Der Münzwurf ist meist der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier gibt es zwei (realistische) Ergebnisse eines Münzwurfes. Sofern an der Münze nichts geändert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit beider Ergebnisse exakt gleich groß und liegt bei 50 Prozent.

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich in einem Ereignisbaum darstellen. Ein Ereignisbaum ist nichts anderes als eine Berechnungshilfe für mehrstufige Experimente. Ein einfacher Ereignisbaum zum Münzwurf besteht aus zwei Pfaden, die jeweils bei einem der möglichen Ergebnisse enden. Nun schreibst du noch die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis eintreffen wird, an die Pfade und schon steht dein Ereignisbaum.

Schau dir am besten schon einmal in diesem Nachhilfekurs zur Wahrscheinlichkeitsrechnung an, wie du ein Baumdiagramm zu den verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zeichnest! So kannst du den folgenden Ausführungen dann folgen und hast mit 100-prozentiger Wahrscheinlichkeit keine „?“ vor den Augen!

Ausgehend vom ersten Münzwurf, kannst du den Ereignisbaum natürlich erweitern. Im Prinzip „verästelt“ sich der Baum je nach Wurf immer weiter.

Um nun zu berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit auf zwei Mal „Kopf“ oder zwei Mal „Zahl“ in zwei Würfen jeweils ist, musst du nur die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden miteinander multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit in zwei Würfen zwei Mal „Zahl“ zu erhalten ist also 0,5 x 0,5 und liegt damit bei 0,25 oder 25%. Gleiches gilt dann für das Ergebnis zwei Mal „Kopf“.

Da wir gefragt haben, wie groß die Wahrscheinlichkeit von zwei Mal „Kopf“ ODER zwei Mal „Zahl“ ist, musst du die beiden Werte nun noch addieren. Das bedeutet: Zunächst werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zum passenden Ereignis multipliziert. Anschließend werden alle passenden Pfade dann noch addiert. Und schon hast du die Wahrscheinlichkeit!

Der Vorteil eines Ereignisbaums liegt in der grafischen Darstellung der Wahrscheinlichkeiten. Jedoch eignet sich ein solcher Ereignisbaum nur bedingt für Experimente, die aus vielen Runden bestehen. Hier wird der Ereignisbaum schnell unübersichtlich. Daher solltest du möglichst schnell den rechnerischen Weg zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten lernen. Dieser Stochastik Kurs hilft dir dabei!

Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Schule

Der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung erfolgt meist in der 6. und 7. Klasse. Hier wird der bekannte Begriff der „Häufigkeit“ genutzt, um den Begriff der Wahrscheinlichkeit zu definieren. Anschließend werden dann einstufige Zufallsversuche – wie der Münzwurf – und die Laplace-Formel eingeführt. An mehrstufigen Zufallsversuchen werden dann der Wahrscheinlichkeitsbaum und daraus die Multiplikationsformel abgeleitet.

Häufig wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung dann erst wieder in der 9. Klasse aufgegriffen. Über eine Wiederholung der mehrstufigen Zufallsversuche, relativen Häufigkeit und der Pfadmultiplikationsregel sind dann meist Permutationen im Fokus. In einzelnen Bundesländern wird darüber hinaus noch die Analyse und grafische Darstellung von Wahrscheinlichkeiten thematisiert. Allerdings stehen die Chancen gut, dass dieses Thema in deiner Schule nicht gelehrt wird.

Die wichtigsten Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Der Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht immer leicht. Die Anforderungen steigen schnell, denn nur die ersten Schulstunden über bedeutet Wahrscheinlichkeitsrechnung „einfache Münzwürfe“. Stattdessen werden schnell Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eingeführt und mehrstufige Zufallsexperimente werden durchgeführt. Damit dir der Einstieg gelingt, haben wir die wichtigsten Begriffe der Stochastik für die ersten Schulstunden einmal zusammengefasst und definiert:

  • Zufallsexperiment: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen Vorgang, der mehr als ein mögliches Ergebnis haben kann. Welches Ergebnis das Zufallsexperiment haben wird, lässt sich nur durch Wahrscheinlichkeiten vorhersagen. Zu den klassischen Zufallsexperimenten zählen der Münzwurf oder das Würfeln. 
  • Einstufiges Zufallsexperiment: Ein solches Zufallsexperiment ist die einfachste Variante der Experimente, die du kennenlernst. Das einmalige Werfen einer Münze ist ein einstufiges Zufallsexperiment. 
  • Mehrstufiges Zufallsexperiment: Hier werden mehrere Zufallsexperimente hintereinander durchgeführt. Das können 10 Münzwürfe oder 2.500 Mal würfeln sein. Meist werden solche mehrstufigen Zufallsexperimente mit einem Baumdiagramm dargestellt. Wahrscheinlichkeiten lassen sich nach der Multiplikationsregel errechnen.
  • Ergebnis: Der Ausgang eines Zufallsexperiments nennt man auch Ergebnis.
  • Ergebnismenge: Die Ergebnismenge bezeichnet die Zusammenfassung aller möglichen Ereignisse. Meist wird dafür das Symbol Ω, das griechische „Omega“, verwendet.
  • Ereignis: Fasst du mehrere Ergebnisse in einer Menge zusammen, erhältst du ein Ereignis. Ein Ereignis wäre beim Würfeln zum Beispiel „Würfel zeigt eine ungerade Zahl“. 
  • Sicheres Ereignis: Wenn du als Ereignis „Würfel zeigt eine ungerade oder gerade Zahl“ nimmst, dann trifft dieses Ereignis immer ein. 
  • Unmögliches Ereignis: Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das auf keinen Fall eintreten kann. So wäre das Ereignis „Münze zeigt weder Zahl noch Kopf“ ein unmögliches Ereignis. 

Mit diesen einfachen Begriffen bist du auf die ersten Stunden Wahrscheinlichkeitsrechnung in deiner Schule vorbereitet. Doch für gute Noten sorgt das noch nicht! Wir empfehlen dir unseren Nachhilfekurs zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, damit du in der Mathematikarbeit nicht von unbekannten Aufgaben überraschst wird!